无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题

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最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题

无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题

1940年,加拿大科幻作家A·E·范·沃格特发表了《野兽之穹(Vault of the Beast)》一书,在书中,一个星际怪物被关在“一个由终极金属构成的穹窿里,门上装有一个时间锁,锁上的一串‘ei’与终极质数相关。”

大家都知道,没有所谓的终极质数(最大质数),除非定义无穷大是质数。即便如此,从“无穷(用ω表示)”中减去“1”还是得到了“无穷”。如果你往太平洋里加一滴水,除了这滴水消失了之外,什么也不会发生。

但是,从1970年开始,释放这个怪物成为了可能。那一年,英国数学家约翰·霍顿·康威发明了一种简单的二维计算机自动机,他称之为“生命游戏( Vault of the Beast ”。这个简单的程序可以用任何语言在任何计算机上编写,按今天的说法,它“病毒式传播”,消耗了大量的计算时间。用户们常常被屏幕上某些生命模式的变化所吸引,沉迷其中,长时间盯着看,从而浪费了时间,未能进行任何有实际生产力的活动。

在思考通用构造函数(universal constructor) 时,康威发现(发明)了超现实数(surreal numbers) 。借助这些超现实数,你可以计算ω-1,甚至是ω/2,1/ω(这不是零)或ω的平方根。

构建这些迷人数字的起点不是无限和级数(如柯西和康托尔),而是所谓的区间嵌套,这是康托尔的同时代人理查德·戴德金(Richard Dedekind)用来定义实数的。戴德金发展了现在称为戴德金分割 的概念。

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分割的想法是这样的:一个无理数将有理数分为两个类别(集合),一个类别的所有数字都严格大于另一个类别的所有数字。例如,平方根2将所有数字分为两类:左边是平方小于2的数字,右边是平方大于2的数字。所寻找的数字就是这两个集合的分界线或“切割”。

一个数字被定义为包含在两个数字之间,并且这个区间的边界点越来越靠近,直到经过无数次的步骤,它们包含了你正在寻找的数字。这就是阿基米德在两千年前确定值的方法,他在不断增加边数的正多边形之间嵌套一个圆。

无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题 阿基米德的切割(蓝色)来确定一个圆的周长,圆被内接(绿色)并外接(红色)于多边形。多边形的边越多,Pi的值就越精确。

让我们从最简单的算术程序开始:计数。你从零开始(0),然后向右添加一根棍子:→ |。例如,从“3”到“4”的计数可以符号化地表示为:||| → ||||。(它看起来像罗马数字)

通过这种方式,你可以得到一个数字的后继 ,通常通过“+1”来计算。如果你从右边取走一根棍子,你会得到一个数字的前驱 ,通常通过“–1”来计算。如果接受负整数,这两个过程可以无限次适用。在康威的表示法中,它看起来像这样(花括号表示集合):

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如果我们想在两个数字之间挤出一个数字,以下是康威的表示法:

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过程很简单:取这两个数字的平均值。你可能立即发现一个问题:你只得到1/2的倍数。你永远无法得到(1/3)。为了得到其他分数,康威必须进行无限嵌套,这要借助于著名公式:

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但这是另一个故事。只需说:这是可能的。

但随后康威引入了他表示法的左侧和右侧的变化。不再仅限于一个数字,允许数字序列,但有一个重要的限制:左边的所有数字必须小于右边的所有数字,象征性地:

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序列有时可以简化。在左边的集合中,除了最大的元素(如果存在)之外的所有成员都可以省略。在右边的集合中,除了最小的元素(如果存在)之外的所有成员都可以省略。例如,

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那只是初步工作。现在进入无穷大!我们如何得到它?像往常一样,通过三个简单的点来表示一个无限序列:… 。于是我们得到:{0, 1, 2, … |} = ω,或者:

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在我们之前的说法中,ω是一个无限序列的后继——也就是“下一个”数字。

康威的定义是与时间相关的:有些数字只有在其他数字已经被创建的情况下才能被创建。 通过这种方式,完全新颖和令人惊讶的构造成为可能。假设ω已经存在,那么这个定义也有意义:

无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题 ω的后继。

现在创建我们的目标:比ω小一步的最大数字:

无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题 ω的前驱。

我们仍然处于整数的领域中。最后一个术语的意思是:定义的这个数字必须大于任何有限的数字(这由三个点:… 来表示),但它必须比ω 小一步。那就是ω 减一。范·沃特的野兽可以从他的牢笼中释放了!

现在我们已经进入了一个全新的境界,继续加快步伐,向着理解无穷大及其更深远的概念迈进。以下是一些更令人惊讶的数字,当你习惯于熟悉的数字和集合时,这些数字确实显得非常超现实。

最小的数字 ɩ(iota)是通过以下方式定义的:

无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题 ɩ(iota),最小的数字?

它是介于0和最小的(通常)大于0的数字之间的一个数字,姑且称为ω 的倒数。但这绝不是最小的数字!在生成它之后,你可以继续:

无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题 更小的数字!

我们已经进入了亚伯拉罕·罗宾逊的超实数的领域,即我们定义了无穷小数。

当然,康威还为基本的算术运算找到了精确(但复杂)的定义。只有在微分和积分方面存在问题,因为数字实在是太多了。而恰恰是这两个计算运算是物理学家的日常工作!

当左侧和右侧包含一个无限序列时,还会出现其他有趣的例子。例如:

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这个数字的值是多少? 这个序列可以用图形表示为:

无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题 同时从无穷大上升和下降。

这个数字可以用符号表示为:

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两个序列在n处相遇,如果n = ω - n,或者n = ω/2。

下面的序列更有趣:

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符号表示为:

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解这个方程得出n =ω/n,或者n = ω的平方根。

现在我们进一步,定义:

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这给出了欧米伽的三次方根。可以用类似的方式处理ɩ并得到:

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但对于有限数字的平方根,例如2,情况并不奏效。如果我们应用上述方法,得到:

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但现在左侧的集合并不总是小于右侧的集合!详细来说,这将是:

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我们试试另一个定义:

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实际上,正确的定义应该是:

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回到无穷大数字。我们可以问:无穷大和有限性在哪里相遇?有一天我们能否命名一个数字,它是这两个非常不同的领域之间的某种边界?这样的发现将具有类似于毕达哥拉斯学派发现无理数的影响。

康威能够发明我们标准算术无法知道或理解的数字。但超现实数是否涵盖了整个(有限和无限的)数轴?并没有,这里有一个简单的例子:在之下的最小实数是什么?它可能是ω减去ɩ(iota),但ɩ(iota)并不是可能的最小数。实际上,没有最小的超现实数——你总是可以构造出一个更小的。

尽管康威的数字覆盖了其他数字无法达到的领域,但他也不得不承认存在的局限性,这些局限性他称之为“间隙”或“空白”。实际上,它们是数轴上贯穿的区域。康威识别出了两个这样的间隙(它们既不是数字、集合、类,也不是任何其他有意义的概念,而只是简单的“禁区”):

最大的整数(小于ω)与最大实数(略小于ω)之间的间隙。康威为这片雾区选择了一个众所周知的符号:∞。这些数字位于ω-1与ω之间,但不能通过任何区间嵌套来得到。它们是一个开放集合的一部分,这个集合的边界永远无法到达。超越ω的“间隙”(实际上是:模糊的虚空),即在最大的数字区域,主要是由康托尔发现(或发明)的ε(epsilon)层级。我们曾经称这种不存在的最大数字为Ω,康威也这么称呼。这里是一个象征性的图示: 无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题

最大的数字,是不可达到的。

康威甚至发现了这三者之间的联系:

无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题 康威的神奇公式。

现在也可以定义这些倒数值:

是最小超实数(无穷小数)与0之间的间隙。是所有可想象的(小)数字与1/Ω之间的间隙。

即使是广大的超现实数也不能涵盖所有可能的东西!

现在来回答另一个问题:ω是质数吗?如果是,那么ω-1将是偶数,可以无限次地被2整除。康威认为,这个数字可能是质数:

无穷的科技 最具创造力的数学家:康威,发明了超现实数,解决了“无穷”问题 一个无限质数。

为什么康威的数字不更为人所知?为什么他的公式没有列入“十大最美公式”之中?康威本人坚信他的发现/发明是现代数学中最重要的,而他的崇拜者唐纳德·E·克努斯(“超现实”这个术语的创造者)在他的书《超现实数》中,将他比作神:

起初,一切都是虚空的,J. H. W. H. 康威开始创造数字。康威说,要有两个规则,它们能产生所有大小的数字。……康威检查了他所制定的两个规则,它们非常好。

康威为他的发现/发明感到自豪,甚至在1974年得到了库尔特·哥德尔的“接见”,地点在普林斯顿高级研究院的大厅里。正如他自己回忆的那样:

所以我有五分钟到半小时的时间,因为感觉上并没有持续很久。我犹豫地问他:他是否听说过超现实数?他听说过。我对他说,我认为我发现了无穷小数的正确理论。他同意了。我又说,‘那么,关于你提到的我们会更多地了解连续统假设的想法呢?’他说,‘是的,你可能确实发现了无穷小数的正确理论,但这对我们没有任何帮助。’……我记得他说过的话是‘我错了。’我还记得当时失望的感觉。

康威的玩心可能与官方数学不太合拍。这就是为什么数学家们仍在处理无限大的(而且相当无意义的)基数,而不是进一步发展原始数学家的那些美好的构造性游戏。

参考文献:

John H. Conway: On Numbers and Games. Academic Press 1976Donald E. Knuth: Surreal Numbers. Addison Wesley 1974Rudy Rucker: Infinity and the Mind. Chapter Two: Infinitesimals and Surreal Numbers. Birkhäuser 1982Charles Seife: Mathemagician. Impressions of Conway. 2001Siobhan Roberts: Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway. 2015Peter Ripota: Omega. Eine Reise in das Reich unendlich großer Zahlen. Books on Demand, 2008

大有可为的时代 无穷的发展空间 电子科技大学举行建校65周年创新发展研讨会

封面新闻记者 张峥

9月29日,电子科技大学举行了建校65周年创新发展研讨会。会上,电子科大校长曾勇总结了十三五期间电子科大取得的成绩,满怀激情地翻开成电十四五壮丽新征程。

因时而生,顺势而为。经过65年开拓发展,电子科技大学已经成为完整覆盖整个电子信息类学科,以电子信息科学技术为核心的多科性研究型大学。在科研、学术、校地合作、国际交流等方面都取得了长足的发展。走进十四五,曾勇表示,这是大有可为的时代,有着无穷的发展空间。畅想未来,电子科大将与国家发展同向同行,朝着建成世界一流大学目标而奋斗。

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总结十三五

1956年,成都电讯工程学院作为新中国第一所无线电大学,在周恩来总理的亲自部署下孕育而生。1961年,成电被中共中央确定为七所国防工业院校之一。1988年,学校更名为电子科技大学。2017年,学校成为一流大学建设高校(A类)。

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十三五期间,学校在人才培养方面迈上新台阶,新工科建设“成电方案”在全国引发了广泛关注。通过大类培养,为学生发展兴趣爱好搭建平台,通过构建新工科+新商科,新工科+新艺术等模式构建多学科交叉融合平台;通过本硕博贯通培养,进行基础学科拔尖学生培养试点。十三五期间,学校科研水平和社会服务能力不断提升。国防科研优势突出,军事电子实力和水平位居教育部直属高校前列;两届均获十年一次的“高新工程突出贡献奖”;近五年以第一完成单位获国家奖10项;基础研究取得重大突破,1项成果入选2019年度“中国高等学校十大科技进展”。

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谋划十四五

为实现建成世界一流大学的目标,学校制定了三步走战略计划。2020年实现电子信息学科达到世界一流水平,2035年初步进入世界一流大学行列;2050年建成世界一流大学。

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曾勇表示,以电子信息学科为核心的电子科大,在未来大有可为,有无穷发展空间。在学科建设上,学校将通过优工,巩固电子信息和军事电子特色与优势,打造世界一流电子信息学科集群;强理,构建理工融合新局面,筑牢原始自主创新策源地;精文,建好马克思主义理论学科,提升哲学社会科学学科水平;育新,用好学科交叉融合“催化剂”,形成学科发展新优势,构建相互支撑、协同发展的一流学科生态体系。

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在教师规模上,学校将建成一支4500人的师德高尚、业务精湛、结构合理、勇于承担国家使命的具有国际竞争力的,高素质、专业化、创新型教师队伍。

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