无穷的科技最具创造力的数学家：康威，发明了超现实数，解决了“无穷”问题

用户投稿 2025年06月22日 02:00:01 5 0

最具创造力的数学家：康威，发明了超现实数，解决了“无穷”问题

1940年，加拿大科幻作家A·E·范·沃格特发表了《野兽之穹（Vault of the Beast）》一书，在书中，一个星际怪物被关在“一个由终极金属构成的穹窿里，门上装有一个时间锁，锁上的一串‘ei’与终极质数相关。”

大家都知道，没有所谓的终极质数（最大质数），除非定义无穷大是质数。即便如此，从“无穷（用ω表示）”中减去“1”还是得到了“无穷”。如果你往太平洋里加一滴水，除了这滴水消失了之外，什么也不会发生。

但是，从1970年开始，释放这个怪物成为了可能。那一年，英国数学家约翰·霍顿·康威发明了一种简单的二维计算机自动机，他称之为“生命游戏（ Vault of the Beast） ”。这个简单的程序可以用任何语言在任何计算机上编写，按今天的说法，它“病毒式传播”，消耗了大量的计算时间。用户们常常被屏幕上某些生命模式的变化所吸引，沉迷其中，长时间盯着看，从而浪费了时间，未能进行任何有实际生产力的活动。

在思考通用构造函数（universal constructor） 时，康威发现（发明）了超现实数（surreal numbers） 。借助这些超现实数，你可以计算ω-1，甚至是ω/2，1/ω（这不是零）或ω的平方根。

构建这些迷人数字的起点不是无限和级数（如柯西和康托尔），而是所谓的区间嵌套，这是康托尔的同时代人理查德·戴德金（Richard Dedekind）用来定义实数的。戴德金发展了现在称为戴德金分割 的概念。

分割的想法是这样的：一个无理数将有理数分为两个类别（集合），一个类别的所有数字都严格大于另一个类别的所有数字。例如，平方根2将所有数字分为两类：左边是平方小于2的数字，右边是平方大于2的数字。所寻找的数字就是这两个集合的分界线或“切割”。

一个数字被定义为包含在两个数字之间，并且这个区间的边界点越来越靠近，直到经过无数次的步骤，它们包含了你正在寻找的数字。这就是阿基米德在两千年前确定值的方法，他在不断增加边数的正多边形之间嵌套一个圆。

阿基米德的切割（蓝色）来确定一个圆的周长，圆被内接（绿色）并外接（红色）于多边形。多边形的边越多，Pi的值就越精确。

让我们从最简单的算术程序开始：计数。你从零开始（0），然后向右添加一根棍子：→ |。例如，从“3”到“4”的计数可以符号化地表示为：||| → ||||。（它看起来像罗马数字）

通过这种方式，你可以得到一个数字的后继，通常通过“+1”来计算。如果你从右边取走一根棍子，你会得到一个数字的前驱，通常通过“–1”来计算。如果接受负整数，这两个过程可以无限次适用。在康威的表示法中，它看起来像这样（花括号表示集合）：

如果我们想在两个数字之间挤出一个数字，以下是康威的表示法：

过程很简单：取这两个数字的平均值。你可能立即发现一个问题：你只得到1/2的倍数。你永远无法得到（1/3）。为了得到其他分数，康威必须进行无限嵌套，这要借助于著名公式：

但这是另一个故事。只需说：这是可能的。

但随后康威引入了他表示法的左侧和右侧的变化。不再仅限于一个数字，允许数字序列，但有一个重要的限制：左边的所有数字必须小于右边的所有数字，象征性地：

序列有时可以简化。在左边的集合中，除了最大的元素（如果存在）之外的所有成员都可以省略。在右边的集合中，除了最小的元素（如果存在）之外的所有成员都可以省略。例如，

那只是初步工作。现在进入无穷大！我们如何得到它？像往常一样，通过三个简单的点来表示一个无限序列：… 。于是我们得到：{0, 1, 2, … |} = ω，或者：

在我们之前的说法中，ω是一个无限序列的后继——也就是“下一个”数字。

康威的定义是与时间相关的：有些数字只有在其他数字已经被创建的情况下才能被创建。 通过这种方式，完全新颖和令人惊讶的构造成为可能。假设ω已经存在，那么这个定义也有意义：

ω的后继。

现在创建我们的目标：比ω小一步的最大数字：

ω的前驱。

我们仍然处于整数的领域中。最后一个术语的意思是：定义的这个数字必须大于任何有限的数字（这由三个点：… 来表示），但它必须比ω 小一步。那就是ω 减一。范·沃特的野兽可以从他的牢笼中释放了！

现在我们已经进入了一个全新的境界，继续加快步伐，向着理解无穷大及其更深远的概念迈进。以下是一些更令人惊讶的数字，当你习惯于熟悉的数字和集合时，这些数字确实显得非常超现实。

最小的数字 ɩ（iota）是通过以下方式定义的：

ɩ（iota），最小的数字？

它是介于0和最小的（通常）大于0的数字之间的一个数字，姑且称为ω 的倒数。但这绝不是最小的数字！在生成它之后，你可以继续：

更小的数字！

我们已经进入了亚伯拉罕·罗宾逊的超实数的领域，即我们定义了无穷小数。

当然，康威还为基本的算术运算找到了精确（但复杂）的定义。只有在微分和积分方面存在问题，因为数字实在是太多了。而恰恰是这两个计算运算是物理学家的日常工作！

当左侧和右侧包含一个无限序列时，还会出现其他有趣的例子。例如：

这个数字的值是多少？这个序列可以用图形表示为：

同时从无穷大上升和下降。

这个数字可以用符号表示为：

两个序列在n处相遇，如果n = ω - n，或者n = ω/2。

下面的序列更有趣：

符号表示为：

解这个方程得出n =ω/n，或者n = ω的平方根。

现在我们进一步，定义：

这给出了欧米伽的三次方根。可以用类似的方式处理ɩ并得到：

但对于有限数字的平方根，例如2，情况并不奏效。如果我们应用上述方法，得到：

但现在左侧的集合并不总是小于右侧的集合！详细来说，这将是：

我们试试另一个定义：

实际上，正确的定义应该是：

回到无穷大数字。我们可以问：无穷大和有限性在哪里相遇？有一天我们能否命名一个数字，它是这两个非常不同的领域之间的某种边界？这样的发现将具有类似于毕达哥拉斯学派发现无理数的影响。

康威能够发明我们标准算术无法知道或理解的数字。但超现实数是否涵盖了整个（有限和无限的）数轴？并没有，这里有一个简单的例子：在之下的最小实数是什么？它可能是ω减去ɩ（iota），但ɩ（iota）并不是可能的最小数。实际上，没有最小的超现实数——你总是可以构造出一个更小的。

尽管康威的数字覆盖了其他数字无法达到的领域，但他也不得不承认存在的局限性，这些局限性他称之为“间隙”或“空白”。实际上，它们是数轴上贯穿的区域。康威识别出了两个这样的间隙（它们既不是数字、集合、类，也不是任何其他有意义的概念，而只是简单的“禁区”）：

最大的整数（小于ω）与最大实数（略小于ω）之间的间隙。康威为这片雾区选择了一个众所周知的符号：∞。这些数字位于ω-1与ω之间，但不能通过任何区间嵌套来得到。它们是一个开放集合的一部分，这个集合的边界永远无法到达。超越ω的“间隙”（实际上是：模糊的虚空），即在最大的数字区域，主要是由康托尔发现（或发明）的ε（epsilon）层级。我们曾经称这种不存在的最大数字为Ω，康威也这么称呼。这里是一个象征性的图示：

最大的数字，是不可达到的。

康威甚至发现了这三者之间的联系：

康威的神奇公式。

现在也可以定义这些倒数值：

是最小超实数（无穷小数）与0之间的间隙。是所有可想象的（小）数字与1/Ω之间的间隙。

即使是广大的超现实数也不能涵盖所有可能的东西！

现在来回答另一个问题：ω是质数吗？如果是，那么ω-1将是偶数，可以无限次地被2整除。康威认为，这个数字可能是质数：

一个无限质数。

为什么康威的数字不更为人所知？为什么他的公式没有列入“十大最美公式”之中？康威本人坚信他的发现/发明是现代数学中最重要的，而他的崇拜者唐纳德·E·克努斯（“超现实”这个术语的创造者）在他的书《超现实数》中，将他比作神：

起初，一切都是虚空的，J. H. W. H. 康威开始创造数字。康威说，要有两个规则，它们能产生所有大小的数字。……康威检查了他所制定的两个规则，它们非常好。

康威为他的发现/发明感到自豪，甚至在1974年得到了库尔特·哥德尔的“接见”，地点在普林斯顿高级研究院的大厅里。正如他自己回忆的那样：

所以我有五分钟到半小时的时间，因为感觉上并没有持续很久。我犹豫地问他：他是否听说过超现实数？他听说过。我对他说，我认为我发现了无穷小数的正确理论。他同意了。我又说，‘那么，关于你提到的我们会更多地了解连续统假设的想法呢？’他说，‘是的，你可能确实发现了无穷小数的正确理论，但这对我们没有任何帮助。’……我记得他说过的话是‘我错了。’我还记得当时失望的感觉。

康威的玩心可能与官方数学不太合拍。这就是为什么数学家们仍在处理无限大的（而且相当无意义的）基数，而不是进一步发展原始数学家的那些美好的构造性游戏。

参考文献：

John H. Conway: On Numbers and Games. Academic Press 1976Donald E. Knuth: Surreal Numbers. Addison Wesley 1974Rudy Rucker: Infinity and the Mind. Chapter Two: Infinitesimals and Surreal Numbers. Birkhäuser 1982Charles Seife: Mathemagician. Impressions of Conway. 2001Siobhan Roberts: Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway. 2015Peter Ripota: Omega. Eine Reise in das Reich unendlich großer Zahlen. Books on Demand, 2008

大有可为的时代无穷的发展空间电子科技大学举行建校65周年创新发展研讨会

封面新闻记者张峥

9月29日，电子科技大学举行了建校65周年创新发展研讨会。会上，电子科大校长曾勇总结了十三五期间电子科大取得的成绩，满怀激情地翻开成电十四五壮丽新征程。

因时而生，顺势而为。经过65年开拓发展，电子科技大学已经成为完整覆盖整个电子信息类学科，以电子信息科学技术为核心的多科性研究型大学。在科研、学术、校地合作、国际交流等方面都取得了长足的发展。走进十四五，曾勇表示，这是大有可为的时代，有着无穷的发展空间。畅想未来，电子科大将与国家发展同向同行，朝着建成世界一流大学目标而奋斗。

总结十三五

1956年，成都电讯工程学院作为新中国第一所无线电大学，在周恩来总理的亲自部署下孕育而生。1961年，成电被中共中央确定为七所国防工业院校之一。1988年，学校更名为电子科技大学。2017年，学校成为一流大学建设高校（A类）。

十三五期间，学校在人才培养方面迈上新台阶，新工科建设“成电方案”在全国引发了广泛关注。通过大类培养，为学生发展兴趣爱好搭建平台，通过构建新工科+新商科，新工科+新艺术等模式构建多学科交叉融合平台；通过本硕博贯通培养，进行基础学科拔尖学生培养试点。十三五期间，学校科研水平和社会服务能力不断提升。国防科研优势突出，军事电子实力和水平位居教育部直属高校前列；两届均获十年一次的“高新工程突出贡献奖”；近五年以第一完成单位获国家奖10项；基础研究取得重大突破，1项成果入选2019年度“中国高等学校十大科技进展”。

谋划十四五

为实现建成世界一流大学的目标，学校制定了三步走战略计划。2020年实现电子信息学科达到世界一流水平，2035年初步进入世界一流大学行列；2050年建成世界一流大学。

曾勇表示，以电子信息学科为核心的电子科大，在未来大有可为，有无穷发展空间。在学科建设上，学校将通过优工，巩固电子信息和军事电子特色与优势，打造世界一流电子信息学科集群；强理，构建理工融合新局面，筑牢原始自主创新策源地；精文，建好马克思主义理论学科，提升哲学社会科学学科水平；育新，用好学科交叉融合“催化剂”，形成学科发展新优势，构建相互支撑、协同发展的一流学科生态体系。